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4 posts tagged with "线性代数"

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Schur Complement

· 3 min read
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer
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在线性代数和矩阵论中,分块矩阵的舒尔补定义如下:

M=[Ap×pBp×qCq×pDq×q](p+q)×(p+q)M= \begin{bmatrix} A_{p\times p} & B_{p\times q} \\ C_{q\times p} & D_{q\times q} \end{bmatrix}_{(p+q)\times(p+q)}

如果 DD可逆的,则矩阵 MM 对于块 DD 的舒尔补 p×pp\times p 矩阵可以定义为

矩阵的 LU 分解

· 7 min read
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer

引入

回想我们解方程组的过程

如果有方程组:

{2x1x2+2x3=8x1+2x2+3x3=7x1+3x2=7\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =-8 \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =-7 \\ x_{1}+3 x_{2} & =7 \end{aligned}\right.

我们会想要通过一系列(消元,代入) 的操作化成是如下的样子:

Gramian 矩阵

· 2 min read
PuQing
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在线性代数中,内积空间中一族向量 {v1,,vn}\{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\} 的格拉姆矩阵(Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian)是内积的 埃尔米特矩阵,其元素由 Gij=vi,vj{\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle } 给出。

性质

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格拉姆矩阵是 半正定(This page is not published) 的,反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的:任何 正交基 的格拉姆矩阵是单位矩阵。