Gramian 矩阵

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在线性代数中，内积空间中一族向量 $\{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\}$ 的格拉姆矩阵（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是内积的 埃尔米特矩阵，其元素由 ${\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$ 给出。

性质

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格拉姆矩阵是 半正定(This page is not published) 的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何 正交基 的格拉姆矩阵是单位矩阵。

1. 对称性
2. 半正定性 (可为 零)
3. 实特征值和正特征值
4. 矩阵迹 (trace) 为正 (矩阵迹为特征值之和)
5. 行列式是正的 (行列式是特征值的乘积)
6. 对角线条目都是正数
7. 正交特征向量
8. 可对角化为 $Q \Lambda Q^{\top}$
9. 可以得到Cholesky分解。
10. $A^{\top}A$ 的秩与 $A$ 的秩相同。
11. $\operatorname{ker}(A^{\top}A)$=$\operatorname{ker}(A)$

例子

在给定区间 $[t_0,t_f]$ 上的实数函数 $\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}$，格拉姆矩阵 ${\displaystyle G=[G_{ij}]}$，由 函数的标准内积 给出:

$$G_{i j}=\int_{t_{0}}^{t_{f}} \ell_{i}(\tau) \ell_{j}(\tau) d \tau$$

给定一个实矩阵 $A$，矩阵 $A^T A$ 是 $A$ 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 $AA^T$ 是 $A$ 的行向量的格拉姆矩阵。

应用

• 如果向量是 随机变量，所得格拉姆矩阵是 协方差矩阵。