狄拉克 Delta 函数

狄拉克 $\delta(x)$ 函数并不是数学中一个严格意义上的函数，而是泛函分析中称为 广义函数(generalized function)(This page is not published) 或者分布 (distribution)。它在除零以外的点上都等于零，且在整个定义域上的积分等于 $1$.

Why?

假设 $f(x)=\delta(x)$ 和 $g(x)=0$ 这两个数学对象除了在 $x=0$ 以外都有相同的值，但其积分却不相同。根据 勒贝格积分 理论，若 $f$ 和 $g$ 为函数，使得 $f=g$ 几乎处处 成立，则 $f$ 可积当且仅当 $g$ 可积且 $f$ 和 $g$ 的积分相同。

来考虑上图左边的函数

$$f_{h}(x)=\begin{cases} h & \displaystyle\left(\left|x-x_{0}\right| \leqslant \frac{1}{2 h}\right) \\ 0 & \displaystyle\left(\left|x-x_{0}\right|>\frac{1}{2 h}\right) \end{cases}$$

其中的 $h,x_{0}$ 是常数，由示意图可以易得函数下面积为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f_{h}(x) \mathrm{d} x=1$。现在令 $h\to \infty$，长方形的高将趋近于无穷大，宽将趋近于零，而定积分结果不变。

上面的 $f_{h}(x)$ 就可以表示为 $\delta(x-x_{0})$。当然，我们还可以选取其他含有参数的 $f(x)$ 来逼近 $\delta$ 函数，如上图右边所示。

使用函数列严格定义

定义 狄拉克 $\delta$ 函数

令 $\delta_{1}(x),\delta_{2}(x),\dots$ 为一个连续实函数的序列。若 $\delta_{n}(x)$ 满足下面条件，那么我们把该函数列称伪狄拉克 $\delta$ 函数列： 对于所有性质良好（例如在 $x=0$ 连续）的 $f(x)$，都有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_{n}(x) f(x) \mathrm{d} x=f(0)$$

这里不是太明白函数列的道理

常见性质

缩放与对称

对于非零标量 $\alpha$，$\delta$ 函数有以下缩放性质：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) \frac{\mathrm{d} u}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|},$$

所以

$$\delta(\alpha x)=\frac{\delta(x)}{|\alpha|}.$$

证明

几何不严谨证明：与 $\delta(x)$ 相比较，$\delta(ax)$ 的图像在 $x$ 方向变窄了 $\mid a\mid$ 倍，所以函数曲线下的面积变为原来的 $\frac{1}{\mid a\mid }$ 倍，故 $\mid a\mid\delta(ax)$ 下的面积为 $1$.

与函数复合

若一个等式中出现了所谓的 $\delta$ 函数 $\delta(x)$，那么其严格的定义是先将 $\delta(x)$ 替换为符合 定义 的任意函数列 $\delta_{n}(x)$，令等式在 $n\to \infty$ 的极限时成立。

对于任意在 $x=x_{0}$ 处连续函数 $f(x)$，有

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)$$

该等式的严格意义是

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_{n}\left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)$$

参考

• 狄拉克δ函数 - 维基百科，自由的百科全书
• 狄拉克 delta 函数 - 小时百科