初等矩阵

初等矩阵分为 3 种类型，分别对应着 3 种不同的行/列变换。

• 两行（列）互换：$R_i \leftrightarrow R_j$
• 把某行（列）乘以一非零常数：$kR_i \rightarrow R_i,$ 其中 $k \neq 0$
• 把第 $i$ 行（列）加上第 $j$ 行（列）的 $k$ 倍：$R_i + kR_j \rightarrow R_i$

初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一 单位矩阵 的结果。

行互换

$$T_{i j}=\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array}\right]$$

将单位矩阵的第 $i$ 行的所有元素与第 $j$ 行互换。

info

$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$$

性质

• 逆矩阵即自己：$T_{ij}^{-1}=T_{ij}$
• $\det{T_{ij}}=-1$，对于阶数相同的方阵 $A$ 也有以下性质：

$$\det{T_{ij}A}=-\det{A}$$

把某行乘以一非零常数

$$T_{i}(m)=\left[\begin{array}{llllllll} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array}\right]$$

此变换 $T_i(m)$ 将第 $i$ 行的所有元素乘以一个非零常数 $m$。

info

$$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

性质

• 逆矩阵为：$\displaystyle T_{i}(m)^{-1}=T_{i}(\frac{1}{m})$
• 此矩阵及其逆矩阵均为 对角矩阵(This page is not published)。
• 行列式 $\operatorname{det}\left(T_{i}(m) A\right)=m \operatorname{det} A$。

把第 I 行加上第 J 行的 M 倍

$$T_{i j}(m)=\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array}\right]$$

info

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 6 & 10 \end{bmatrix}$$

性质

• 逆矩阵为：$T_{i j}(m)^{-1}=T_{i j}(-m)$
• 此矩阵及其逆矩阵均为 三角矩阵(This page is not published)。
• 行列式 $\operatorname{det}\left(T_{i j}(m) A\right)=\operatorname{det} A$。