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布朗运动与朗之万方程

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PuQing
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer

随机过程与布朗运动​

定义：随机过程

设有概率空间 (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P) 及参数集合 (指标集)T⊂RT\subset \mathbb{R}, 称随机变量族

X={X(t),t∈T}={X(t,ω),ω∈Ω,t∈T}X=\{X(t),t \in T\}=\left\{ X(t,\omega),\omega \in \Omega,t \in T \right\}

为一随机过程或随机函数

注：
  • 当 T={0,1,2,⋯ }T=\left\{ 0,1,2,\cdots \right\} 时称为随机序列或时间序列
  • 参数空间 TT 是向量集合时，随机过程 {X(t),t∈T}\left\{ X(t),t \in T \right\} 称为随机场

而对于任意固定的 t∈Tt \in T，XtX_{t} 的取值空间称为状态空间，记为 SS，其中的元素称为状态。

我们想知道一个随机过程的样本空间和样本点可以是什么样子，具体想了解 Ω\Omega 与 TT 和 SS 之间的关系。我们可以把 {Xt,t∈T}\left\{ X_{t},t \in T \right\} 写成 {X(t,ω),t∈T,ω∈Ω}\left\{ X(t,\omega),t \in T,\omega \in \Omega \right\}，因此将过程看成 T×ΩT \times \Omega 到 SS 的函数 (映射)。当 t∈Tt \in T 固定时，X(t,⋅)X(t,\cdot) 是一个 (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P) 上的随机变量；当 ω∈Ω\omega \in \Omega 固定是，X(⋅,ω)X(\cdot,\omega) 是一个从 TT 到 SS 的函数 (映射)，称为对于 ω\omega 的样本轨道。

定义：布朗运动

设 (Bt)t≥0(B_{t})_{t \ge 0} 是一个随机过程，如果它满足一下三条：

  1. Bt+s−Bt∼N(0,σ2s)B_{t+s}-B_{t} \sim \mathcal{N}(0,\sigma^{2}s)

  2. BtB_{t} 为独立增量过程； 即：对于 ∀0<t1<t2<⋯<tn,B0,Bt1−B0,…,Btn−Btn−1\forall 0< t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n},B_{0},B_{t_{1}}-B_{0},\dots,B_{t_{n}}-B_{t_{n-1}} 相互独立；

  3. 对于所有的 ω\omega, Bt(ω)B_{t}(\omega) 关于 tt 连续

则称 (Bt)t≥0(B_{t})_{t \ge 0 } 是一个 (一维) 布朗运动 (Brownian motion). 当 B0=0B_{0}=0 时，称为标准布朗运动.