在 马尔可夫随机过程 中已经根据马尔可夫过程得到 Chapman-Kolmogorov 方程,这里再做概述。
Chapman-Kolmogorov 方程
根据马尔科夫过程的定义,系统的联合概率密度 (不同时刻处于不同状态的概率分布) 可以表示为:
p(x1,t1;y,t;x2,t2)=p(x2,t2∣y,t)p(y,t∣x1,t1)p(x1,t1)(1)
要考虑 t1→t2 所有中间过程。则对上式 (1) 对 y 求积分,有:
p(x2,t2;x1,t1)=p(x1,t1)∫p(y,t∣x1,t1)p(x2,t2∣y,t)dy(2)
由条件概率的性质
p(x2,t2∣x1,t1)=p(x1,t1)p(x2,t2;x1,t1)(3)
则有
p(x2,t2∣x1,t1)=∫p(y,t∣x1,t1)p(x2,t2∣y,t)dy(4)
此式称为 Chapman-Kolmogorov 方程。
∫p(x2,t2∣x1,t1)dx2=1(5)
- 如果 t2→t1,则
p(x2,t2∣x1,t1)=δ(x2−x1)(6)
From Chapman-Kolmogorov Equation To Master Equation
为了求解式 (4) 中的条件概率随时间的变化,我们需要引入微分方程。为此,我们对符号进行如下修改:
⎩⎨⎧(x1,t1)→(x0,t0)(y,t)→(x′,t)(x2,t2)→(x,t+Δt),(7)
我们重写公式 (4):
p(x,t+Δt∣x0,t0)=∫p(x,t+Δt∣x′,t)p(x′,t∣x0,t0)dx′(8)
我们现在引入 p(x,t∣x0,t0) 对于 t 的微分
∂t∂p(x;t∣x0,t0)=Δt→0limΔt1{[p(x,t+Δt∣x0,t0)−p(x;t∣x0,t0)]}(9)
将公式 (8) 代入到公式 (9)
∂t∂p(x;t∣x0,t0)==Δt→0limΔt1[∫p(x,t+Δt∣x′,t)p(x′,t∣x0,t0)dx′−1⋅p(x;t∣x0,t0)](10)
注意到式 10 积分右手项是乘以 1,我们可以利用式 (6) 来改造这样一个积分
∫p(x′,t+Δt∣x;t)dx′=1(11)
对于积分里面的条件积分我们利用公式 (6) 得到
∫p(x′,t+Δt∣x;t)dx′=∫δ(x′−x)dx′显然该积分式等于 1,见 狄拉克函数
于是得到下式
∂t∂p(x;t∣x0,t0)==Δt→0limΔt1[∫Ωdx′p(x,t+Δt∣x′,t)p(x′,t∣x0,t0)−−∫