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R-S 积分

· 5 min read
PuQing
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer

Reimann 积分​

将朴素的 积分思想 严格成积分，我们先给出以下一些定义：

定义

我们称 τ:=(x0,x1,⋯ ,xn)\tau:=(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n}) 为区间 I:=[a,b]I:=[a,b] 的一个分割，若 a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b，n∈N+n\in\mathbb{N}_{+}。

若 τ\tau 是另一个分割 τ′\tau' 的子集，则称 τ′\tau' 为分割 τ\tau 的加细，记为 τ′≥τ\tau'\ge \tau

下面是黎曼和的定义

黎曼和

ff 为定义在 I:=[a,b]I:=[a,b] 上的实函数。τ:=(x0,x1,⋯ ,xn)\tau:=(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n}) 是区间 II 的一个分割，记 Δxi=xi−xi−1\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}，并设 ∥τ∥:=max⁡1≤i≤n{Δxi}\left\| \tau \right\|:=\max_{1\le i \le n}\left\{ \Delta x_{i} \right\}，对任意的 ξi∈[xi−1,xi]\xi_{i}\in\left[ x_{i-1},x_{i} \right]，我们称 ∑i=1nf(ξi)Δxi\displaystyle\sum^{n}_{i=1}f(\xi_{i})\Delta x_{i} 为 ff 在 II 上的一个 Reimann 和。

黎曼和的几何直观是非常明显的：当分割不断的加细，一系列的长方形 f(ξi)Δxif(\xi_{i})\Delta x_{i} 的和也越来越接近一个函数与坐标轴围成的面积。下面是积分的具体定义

定义

设 ff 为定义在 II 上的实函数，若存在实数 AA，满足 ∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0，对于任意的分割 τ,∥τ∥<δ\tau,\left\| \tau \right\|<\delta，有

∣∑i=1nf(ξi)Δxi−A∣<ε,∀ξi∈[xi−1,xi],i=1,…,n,\left| \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}-A \right|<\varepsilon,\quad \forall \xi_{i} \in \left[ x_{i-1},x_{i} \right],i=1,\dots,n,

就称函数 ff 在 II 上Reimann 可积，用 f∈Rf\in \mathscr{R} 表示。同时 AA 称为 ff 在 II 上的定积分，记为:

∫abf(x)dx=lim⁡∥τ∥→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int^{b}_{a}f(x)dx = \lim_{ \left\| \tau \right\| \to 0 } \sum^{n}_{i=1}f(\xi_{i})\Delta x_{i}

ff 称为被积函数，II 称为积分区间。

容易证明,在区间 II 上可积的函数, 必然在 II 上有界. 但是有界函数未必可积. 数学家达布 (Darboux) 给出了有界函数黎曼可积的充分必要条件, 这也是我们之后常用的积分的另一种等价定义.

黎曼积分的达布定义 (充要条件)

设 ff 为定义在 II 上的有界实函数，对应于 II 的任意分割 τ\tau，令

Mi=sup⁡xi−1≤x≤xif(x),mi=inf⁡xi−1≤x≤xif(x)M_{i}=\sup_{x_{i-1}\le x \le x_{i}}f(x),\quad m_{i}=\inf_{x_{i-1}\le x \le x_{i}}f(x)

分别表示函数 ff 在第 ii 个部分区间 [xi−1,xi]\left[ x_{i-1},x_{i} \right] 上的上确界与下确界，并作和

U(τ,f)=∑i=0nMiΔxi,L(τ,f)=∑i=0nmiΔxiU(\tau,f)= \sum^{n}_{i=0}M_{i}\Delta x_{i},\quad L(\tau,f) = \sum^{n}_{i=0}m_{i}\Delta x_{i}

这些和分别叫做上积分和与下积分和，或者 Darboux 和。

I∗=inf⁡{U},I∗=sup⁡{L}L≤I∗≤I∗≤U\begin{split} & I^* =\inf\left\{ U \right\},\quad I_{*}=\sup\left\{ L \right\} \\ & L \le I_{*} \le I^* \le U \end{split}

数 I∗I_{*} 与数 I∗I^* 分别叫做 Darboux 下积分与 Darboux 上积分

Reimann 积分存在的充要条件是上下积分相等

性质
  • 对于任意的分割 τ\tau，恒有 s≤Ss \le S；
  • 若有 τ′≥τ\tau' \ge \tau，则上和不增，下和不减
  • 对于任意的两个分割 τ1,τ2\tau_{1},\tau_{2}，恒有 s(τ1,f)≤S(τ2,f)s(\tau_{1},f) \le S(\tau_{2},f)
  • sup⁡s(τ,f)≤inf⁡S(τ,f)\sup s(\tau,f) \le \inf S(\tau,f)，即下积分不超过上积分

Reimann-Stieltjes 积分​

R-S 积分

设 α\alpha 为 [a,b]\left[ a,b \right] 上的一个单调递增函数，ff 为 [a,b]\left[ a,b \right] 上的有界函数，对应于 [a,b]\left[ a,b \right] 的任意分割 τ:=(x0,x1,⋯ ,xn)\tau:=(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n})，记：

Mi=sup⁡xi−1≤x≤xif(x),mi=inf⁡xi−1≤x≤xif(x),Δαi=α(xi)−α(xi−1)M_{i}=\sup_{x_{i-1} \le x \le x_{i}}f(x), m_{i}=\inf_{x_{i-1} \le x \le x_{i}}f(x), \Delta \alpha_{i}=\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})

定义 ff 关于 α\alpha 和 τ\tau 的 Darboux 上和与下和

U(τ,f,α)=∑i=1nMiΔaiL(τ,f,α)=∑i=1nmiΔai\begin{align} U(\tau,f,\alpha)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\Delta a_{i} \\ L(\tau,f,\alpha)=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\Delta a_{i} \end{align}

类似的，记

∫ab‾fdα=inf⁡U(τ,f,α)∫ab‾fdα=sup⁡L(τ,f,α)\begin{align} \overline{\int_{a}^{b}} f d \alpha=\inf U(\tau, f, \alpha) \\ \underline{\int_{a}^{b}} f d \alpha=\sup L(\tau, f, \alpha) \end{align}

它们分别称为 ff 关于 α\alpha 的上积分和下积分。若上下积分相等，则称 ff 关于 α\alpha 是 Reimann-Stieltjes 可积，记为 f∈R(α)f\in \mathscr{R}(\alpha)。简称 R-S 可积

显然，当我们取 α(x)=x\alpha(x)=x 时，以上定义就是黎曼积分的定义。

对此，我们有：

在 [a,b]\left[ a,b \right] 上，f∈R(α)f\in \mathscr{R}(\alpha) 当且仅当：∀ε>0,∃τε\forall \varepsilon>0,\exists \tau_{\varepsilon}，使得 U(τ,f,α)−L(τ,f,α)<εU(\tau,f,\alpha)-L(\tau,f,\alpha)<\varepsilon

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