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Gaussian Random Fields

· 2 min read
PuQing
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer

Spatiotemporal Model​

假设我们能够测量在定义空间 M∈R3M \in \mathbb{R}^3 位置 xx 以及时间 tt 处的温度 YY.但是每次测量都会引入一些误差，表达为：

Y(x,t)=μ(x,t)+ϵ(x,t)Y(x,t) = \mu(x,t)+\epsilon(x,t)

这里的 uu 就是未知的温度函数，ϵ\epsilon 是测量误差。这个测量误差可以被建模成随机变量。所以对于每个点 (x,t)∈M⊗R+(x,t)\in M \otimes \mathbb{R}^{+} 的测量误差是一个随机变量。随机变量可以写成集合：

{ϵ(x,t):(x,y)∈M⊗R+}\{\epsilon(x,t):(x,y)\in M \otimes \mathbb{R}^{+}\}

这个集合被叫做 stochastic process(随机过程)。所有的随机过程包含一个特殊的变量，这个变量被叫做随机场。更加形式化的表述在 Geometry of Random Fields。

高斯随机场​

A random vector x=(X1,⋯ ,Xm)x=(X_1,\cdots,X_m) is multivariate normal[^2] if ∑iciXi\sum_{i}c_{i}X_i is Gaussian for very possible choice of cic_i.[^3]

当随机场 ϵ(x1),⋯ ,ϵ(xm)\epsilon(x_1),\cdots,\epsilon(x_m) 对任意的 xi∈M⊂RNx_i\in M \subset \mathbb{R}^N 是多元正态分布，则我们叫这个随机场为高斯随机场。当 Eϵ(x)=0\mathbb{E}\epsilon(x)=0 时，ϵ\epsilon 是一个 mean zero Gaussian filed. 通常情况下高斯随机场的协方差被假设为具有各向同性，也就是只依赖 xx 和 yy 的距离。常见的各向同性协方差函数有指数型和平方指数型。

指数型

C(x,y)=σ2exp⁡(−∥x−y∥l)C(x, y)=\sigma^{2} \exp \left(-\frac{\|x-y\|}{l}\right)

平方指数型

C(x,y)=σ2exp⁡(−∥x−y∥22l2)C(x, y)=\sigma^{2} \exp \left(-\frac{\|x-y\|^{2}}{2 l^{2}}\right)

其中的 σ2\sigma^2 表示随机场的方差，∣x−y∣|x-y| 是点 xx 和 yy 的欧式距离，ll 是长度尺度参数，用来调随距离增大时得协方差的衰减速度。

引用​