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Schur Complement

· 3 min read
PuQing
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer
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在线性代数和矩阵论中，分块矩阵的舒尔补定义如下：

M=[Ap×pBp×qCq×pDq×q](p+q)×(p+q)M= \begin{bmatrix} A_{p\times p} & B_{p\times q} \\ C_{q\times p} & D_{q\times q} \end{bmatrix}_{(p+q)\times(p+q)}

如果 DD 是 可逆的，则矩阵 MM 对于块 DD 的舒尔补 p×pp\times p 矩阵可以定义为

M/D:=A−BD−1C.M / D:=A-B D^{-1} C .

如果 AA 是 可逆的，则矩阵 MM 对于块 AA 的舒尔补 q×qq\times q 矩阵可以定义为

M/A:=D−CA−1B.M / A:=D-C A^{-1} B .

Background​

舒尔补是在对矩阵 MM 进行高斯消去时出现的。为了消除对角线一下的元素，将矩阵 MM 乘以一个初等变换矩阵，使得：

M=[ABCD]⟶[ABCD][Ip0−D−1CIq]=[A−BD−1CB0D]M=\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix}

这样舒尔补 M/D=A−BD−1CM/D=A-BD^{-1}C 就出现在了左上角，其形状为 p×pp\times p

接下来继续消除过程：

[A−BD−1CB0D]⟶[Ip−BD−10Iq][A−BD−1CB0D]=[A−BD−1C00D]\begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & -\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix}

这样实际是对于矩阵 MM 的三角分解，可以视为：

M=[ABCD]=[IpBD−10Iq][A−BD−1C00D][Ip0D−1CIq]M=\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ \mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix}

这样，对于 MM 的逆可以用 DD 的逆和舒尔补的逆来表达。

M−1=[ABCD]−1=([IpBD−10Iq][A−BD−1C00D][Ip0D−1CIq])−1=[Ip0−D−1CIq][(A−BD−1C)−100D−1][Ip−BD−10Iq]=[(A−BD−1C)−1−(A−BD−1C)−1BD−1−D−1C(A−BD−1C)−1D−1+D−1C(A−BD−1C)−1BD−1]=[(M/D)−1−(M/D)−1BD−1−D−1C(M/D)−1D−1+D−1C(M/D)−1BD]\begin{split} M^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} &= \left( \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ \mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \right) ^{-1}\\ &=\begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left( \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \right) ^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D}^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & -\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \left( \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \right)^{-1} & -\left( \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \right)^{-1} \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\left( \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \right)^{-1} & \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\left( \mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \right)^{-1}\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \left( M/D \right)^{-1} & -\left( M/D \right)^{-1}\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\left( M/D \right)^{-1} & \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\left( M/D \right)^{-1}\mathbf{B}\mathbf{D} \end{bmatrix} \end{split}

同样的，我们先左乘初等变化得到 M/AM/A 的表达式：

M=[ABCD]⟶[Ip0−CA−1Iq][ABCD]=[AB0D−CA−1B]M=\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix} \mathbf{I}_{p} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} & \mathbf{I}_{q} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} \end{bmatrix}
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于是 M/A=D−CA−1BM/A=\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} 。同时为了书写方便，将 M/A,M/DM/A,M/D 记作 ΔA,ΔD\Delta_{A},\Delta_{D}

另外，用 M/AM/A 表达的逆为：

M−1=[A−1+A−1B(M/A)−1CA−1−A−1B(M/A)−1−(M/D)−1CA−1(M/A)−1]M^{-1}=\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(M/A)^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(M/A)^{-1} \\ -(M/D)^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} & (M/A)^{-1} \end{bmatrix}
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通过比较两种逆表达式可以得到 matrix inversion lemma

(M/D)−1=A−1+A−1B(M/A)−1CA−1(M/D)^{-1} = \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(M/A)^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}

完全形式为

(A−BD−1C)−1=A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1(\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})^{-1} = \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}

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