Green 函数

引入

Electrostatics

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对于有电荷密度函数 $\rho(\boldsymbol{r}')$ 其在场位置 $\boldsymbol{r}$ 处的电势满足：

$$-\nabla^2\phi = \frac{\rho}{\epsilon_{0}}$$

Driven Oscillator

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以及 Driven Oscillator 系统满足

$$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=F(t)$$

他们的共同点可以写成

$$Ly(x)=f(x)$$

这里的 $L$ 是 Linear differential operators，$y$ 是要求解的 $x$ 的函数，而 $f$ 的限制项，是给定的 (Forcing term)。下面解释解释什么是 Linear differential operators。

Linear Differential Operators

• 首先看 operators，算子将一个函数 $A$，映射到另一个函数 $B$，就比如 $\displaystyle\frac{d}{d x}$ 就是一个算子。

如上图所示就将函数 $x^2$ 映射成了 $2x$

所以我们想做的事情就是通过求解某种式子，从 $f(x)$ 逆推回 $y(x)$，如下图所示

• 而其中的 differential 说明这个算子与微分有关
• Linear 表示其 “ 线性组合性 ”

$$L\left(\lambda y_{1}(x)+\mu y_{2}(x)\right)=\lambda L\left(y_{1}(x)\right)+\mu L\left(y_{2}(x)\right)$$

其中的 $\lambda,\mu$ 是某一常数

这意味着 operators 和 combination 的顺序无关。可以先组合在变换，也可以先变换再组合。

举个最简单的例子

对于微分算子 $\displaystyle\frac{d }{dx}$，有两个函数 $y_{1}=x^2,y_{2}=2x^3$

$$L(y_{1}+y_{2})=\frac{d }{dx}(x^2+2x^3)=6x^2+2x$$

而如果相对于每个函数应用算子

$$L(y_{1})+L(y_{2})=\frac{d }{dx}(x^2)+\frac{d }{dx}(2x^3)=2x+6x^2$$

有什么反例呢？

Dirac $\delta$ “function”

在 狄拉克 delta 函数 中曾经介绍过狄拉克函数，当时是使用的长方形的面积进行引入的，这里使用物理上的电荷量来引入。

我们想要知道一点 $x$ 处的电荷密度，根据定义应该使用如下公式计算：

$$\rho(x) =\frac{\mathrm{charge}}{\mathrm{volume}}$$

即电荷除以体积，But，在一个点处的体积应该是 $0$ 才对，则怎么算呢？

不妨考虑在 $x$ 邻域附近小区域 $D$

我们可以使用区域 $D$ 的平均电荷，即电荷密度进行估算。

可是这样区域 $D$ 的大小，形状均会影响其结果，能不能想办法忽略掉区域 $D$ 呢？

我们将积分区域扩充到整个空间 $\mathbb{R}^3$，并使用一个指示函数 $1_{D}(\xi)$ 表示如果在区域 $D$ 中函数值为 $1$，如果不在则为 $0$。

$$1_{D}(\xi)=\begin{cases} 1, \xi \in D\\ 0, \xi \notin D \end{cases}$$

如上图所示，进一步的，因为 $V$ 是参数，可以移进积分中，所以可以写为：

$$\rho(x)\approx \int_{\mathbb{R}^{3}} \rho(\xi) \left(\frac{\mathbf{1}_{D}(\xi)}{V}\right) d \xi$$

到现在还只是估计近似，当 $V\to 0$ 时，则相等。

所以

$$\rho(x)=\lim_{V\to 0}\int_{\mathbb{R}^{3}} \rho(\xi) \left(\frac{\mathbf{1}_{D}(\xi)}{V}\right) d \xi$$

这个时候括号中的便是狄拉克 $\delta$ ‘ 函数 ‘。

写成狄拉克 $\delta$ 函数的形式便是

$$\rho(x)=\int_{\mathbb{R}^{3}} \rho(\xi) \delta(x-\xi) d \xi$$

Principle of Green`s Function

回想一下上面的引入得到的电荷密度表达式，我们将一个点 $x$ 处的电荷密度等效为整个定义域上点 $\xi$ 和的形式（以积分的形式体现），并乘以了一个狄拉克 $\delta$ 函数进行 “ 过滤 “。

同样的，我们可以对电势进行同样的操作，这时狄拉克 $\delta$ 函数的便以 $\mathrm{Green\ function}$ 方式进行体现，记作 $G(x;\xi)$

类似地，我们将电势表达为：

$$\phi(x)=\int_{\mathbb{R}^3}\rho(\xi)G(x;\xi)/ \epsilon_{0}\, d\xi$$

可能这里你有很多疑惑？

比如：

• 为什么是 $\rho(\xi)$ 而不是 $\phi(\xi)$
• 为什么要除以 $\epsilon_{0}$

先看下面哈

这会带给我们什么便利呢？

tip

我们想要找到这样的一个函数 $G(x;\xi)$，满足

$$LG(x;\xi)=\delta(x-\xi)$$

这样两边乘以函数 $f(\xi)$

$$f(\xi)LG(x;\xi)=f(\xi)\delta(x-\xi)$$

注意到算子 $L$ 是对于变量 $x$ 作用的，所以可以把 $f(\xi)$ 和 $L$ 交换位置，则有

$$L(f(\xi) G(\mathbf{x} ; \xi))=f(\xi) \delta(\mathbf{x}-\xi)$$

这样对于每个点 $\xi$ 的联合和通常使用积分

$$\int_{\mathbb{R}^{n}} L(f(\xi) G(\mathbf{x} ; \xi)) d \xi=\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\xi) \delta(\mathbf{x}-\xi) d \xi$$

.

重点来了

根据算子 $L$ 满足 Linear 性质，所以实际上允许我们将积分符号提入到算子 $L$ 内部，即：

$$L\left(\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\xi) G(\mathbf{x} ; \xi) d \xi\right)=f(\mathbf{x})$$

令其中的 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\xi) G(\mathbf{x} ; \xi) d \xi=y(x)$，则正好解出了原式子。

让我们回答一下上面提出的两个问题：

这两个问题实际上是一个问题：即为什么要如此构造

实际上，上面的推导已经非常清楚，我们的目的是尝试构造一个 $\mathrm{Green}$ 函数，使得下式成立：

$$-\nabla^2 G(x;\xi)=\delta(x-\xi)$$

于是乎我们能够很自然的推导出下面式子：

$$L\left(\int_{\mathbb{R}^{3}} \rho(\xi) G(\mathbf{x} ; \xi)/\epsilon_0 d \xi \right)=\int_{\mathbb{R}^{3}} \rho(\xi) \delta(x-\xi) d \xi$$

等式右边即为 $\rho(x)$

所以，实际上是一个构造问题 (可能原本直接构造从静电学上有某种含义，但是我确实没 get 到)

虽然好像懂了一点意思了但是还是存在两个问题：

danger

问题一：$\mathrm{Green}$ 函数 $G(x;\xi)$ 如何构造

问题二：对于边界值如何考虑。

但是在这之前先看看另一个案例吧

Driven Oscillator

这是一个带驱动力的振动模型。给小球施加了随时间变化的力 $F(t)$

则小球的相对于平衡位置的距离满足

$$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=F(t)$$

类似于之前静电力的构造，我们有

$$F(t)=\int _{-\infty}^{+\infty}F(\tau)\delta(t-\tau) \, d\tau$$

这个怎么那么像一个东西呢？

卷积公式

$$(f * g)(t) \stackrel{\text { def }}{=} \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\tau) g(t-\tau) d \tau \text { 。 }$$

One More Thing

如何求解 $G$

在上述的推导中，我们需要找到一个函数 $G(x;\xi)$ 满足如下式子

$$LG(x;\xi)=\delta(x-\xi)$$

根据狄拉克 $\delta$ 函数的性质，我们有如下步骤

tip

1. Solve $LG(x;\xi)=0 \quad \mathrm{if}\ \xi \ne x$
2. Note $\displaystyle\int_{D}LG(x;\xi) \, d\xi =1\quad \mathrm{if}\ \mathrm{contains}\ x$

实际上 ¹ 已经将常用的 $\mathrm{Green}$ 函数列举出来了

边界条件

从纯求解方程来看，其解并不是唯一的，例如为上述的静电力学的案例来说，为函数 $\phi(x)$ 加上常数依然可以使方程满足，甚至加上一次函数也是可以满足的。

所以为了解为一，我们需要施加一些边界条件，比如

$$\phi(x)\to 0 \ \text{as}\ \mid x\mid \to \infty$$

我们可以得到唯一解：

$$\frac{G(\mathbf{x} ; \xi)}{\varepsilon_{0}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}|\mathbf{x}-\xi|}$$

相关资料

• 格林函数，天才的解决微分方程Green's functions - the genius way to solve DEs_哔哩哔哩_bilibili
• Green_函数

Footnotes

1. Green's function - Wikipedia ↩