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多元函数的极值 最大值与最小值

· 4 min read
PuQing
PuQing
AI, CVer, Pythoner, Half-stack Developer

多元函数的极值 - 必要条件​

设函数

u=f(x1,x2,⋯ ,xn)u = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)

并且定义于区域 D\mathcal{D} 中，并且 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 是区域上的内点。

tip

若点 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 存在邻域

(x10−δ,x10+δ;x20−δ,x20+δ;⋯ ;xn0−δ,xn0+δ)\left(x_{1}^{0}-\delta, x_{1}^{0}+\delta ; x_{2}^{0}-\delta, x_{2}^{0}+\delta ; \cdots ; x_{n}^{0}-\delta, x_{n}^{0}+\delta\right)

使得对于其中一切点都能成立不等式

f(x1,x2,⋯ ,xn)⩽(⩾)f(x10,x20,⋯ ,xn0),f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \underset{(\geqslant)}{\leqslant} f\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right),

就说函数 f(x1,x2,⋯ ,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n) 在点 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 处有极大值 (极小值)。

如果这个领域可以加强为把等号去掉，即在去除点 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 本身以外的邻域中的每一点都能成立严格不等式

f(x1,x2,⋯ ,xn)<(>)f(x10,x20,⋯ ,xn0),f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \underset{(>)}{<} f\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right),

就说，函数在点 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 处有真正的极大值 (极小值)，否则，极大值 (极小值) 就是广义的。

假定我们的函数在某一点 (x10,x20,⋯ ,xn0)(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0) 处有极值。若在这一点存在着 (有限) 偏导数

fx1′(x10,x20,⋯ ,xn0),⋯ ,fxn′(x10,x20,⋯ ,xn0)f_{x_{1}}^{\prime}\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right), \cdots, f_{x_{n}}^{\prime}\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \cdots, x_{n}^{0}\right)

则一切这些偏导数必都等于零，于是，一阶偏导数等于零就是极值存在的必要条件。

为什么这里强调了是有限偏导数？

证明过程在此不表。

充分条件 (二元函数情景)​

就像在一元函数中那样，在静止点并不能保证极值存在，就拿函数 z=xyz=xy 来看，

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[colormap/viridis]
\addplot3[
	surf,
	samples=30,
	domain=-5:5
]
{x*y};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\end{document}

就有 zx′=y,zy′=xz'_x=y,z'_y=x，静止点为原点 (0,0)(0,0)。但是可以看到在 (0,0)(0,0) 其实函数的鞍点，并不是极值。

该处的推导过程不表，直接说结论。

设函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0，令

fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B, f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=C,

则 f(x,y)f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 处是否取得极值的条件如下：

tip
  1. AC−B2>0AC-B^2> 0 时具有极值，且当 A<0A<0 时有极大值，当 A>0A> 0 时有极小值；
  2. AC−B2<0AC-B^2<0 时没有极值；
  3. AC−B2=0AC-B^2=0 时可能有极值，也可能没有极值，需要更加高阶的讨论.

充分条件 (一般情形)​

关于上述 "Magic formal"AC−B2AC-B^2 是非常神奇的，我们有更加普适的结论解释，有下面矩阵

M=[fxxfxyfxyfyy]M=\left[\begin{array}{ll} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{x y} & f_{y y} \end{array}\right]

这个矩阵其实就 Hessan 矩阵

danger
  • MM 是正定矩阵时，f(a,b)f(a,b) 为极小值
  • MM 是负定矩阵时，f(a,b)f(a,b) 为极大值
  • MM 是非正定非负定，f(a,b)f(a,b) 不是极值

同理的三元或者四元是同理的。至于原理或者证明将会在另一篇 泰勒展开式与Hessian矩阵 进行说明。

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